微分中值定理(怎样构造辅助函数).doc
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冷月如霜·胡狼
2025-05-07
函数
构造
连续
定理
证明
中值
罗尔
内可导
经典
知f
314.5 KB
怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键,下面介绍怎样构造的方法,还有附带几个经典例题,希望对广大高数考生有所帮助。
先看这一题,已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证在(a,b)中存在ε使f’(ε)=f(ε)
证明过程: f’(ε)=f(ε), 所以f’(x)=f(x), 让f(x)=y,
所以 ,即,所以对两边简单积分,即,所以解出来(真的是不定积分的话后面还要加个常数C,但这只是我的经验方法,所以不加)就是,也就是,这里就到了最关键的一步,要使等式一边为1!,所以把除下来,就是,所以左边就是构造函数,也就是,而y就是f(x),所以构造函数就是,你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。
二、已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证:
在(a,b)中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0
证:一样的,,把x,y移到两边,就是,所以积分出来就是,注意y一定要单独出来,不能带ln,所以就是,移出1就是所以构造函数就是,再用罗尔定理就出来了。
三、已知f(x)连续,且f(a)=f(-a),求证在(-a,a)中存在ε使f’(ε) ε+2f(ε)=0.
证:,移项就是,所以,所以就是,移项就是,所以构造的函数就是,再用罗尔定理就可以了。
注:这种方法不是万能的,
结合下面例题尝试做下。
微分中值定理的证明题
1. 若在上连续,在上可导,,证明:,使得:。
证:构造函数,则在上连续,在内可导,
且,由罗尔中值定理知:,使
即:,而,故。
经典题型二:
思路分析:
实战分析:
设,证明:,使得。
证:将上等式变形得:
作辅助函数,则在上连续,在内可导,
由拉格朗日定理得:
,
即 ,
即: 。
经典题型三
设在内有二阶导数,且,有证明:在 内至少存在一点,使得:。
证:显然在上连续,在内可导,又,故由罗尔定理知:,使得
又,故, 于是在上满足罗尔定理条件,故存在, 使得:,而,即证
函数/构造/连续/定理/证明/中值/罗尔/内可导/经典/知f/
函数/构造/连续/定理/证明/中值/罗尔/内可导/经典/知f/
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